ワルキューレのコンサートグッズに、こういう凶悪な販売方法のものがありますが、
何が凶悪かって、１枚800円もするのに、中身が開示されていないことなんですよね。こういった売り方はワルキューレ固有のものではありませんが、不良在庫を抱えるリスクが劇的に下がるとはいえ、そのしわ寄せを一方的に客に押しつけているのは面白くありません。
一体この商品を５種類コンプしようと思ったら、何枚買えば揃うのでしょうか。５種類が均等にばらけているとして、何枚買えば揃うか期待値を計算してみます。
１枚目で任意の１枚目が出る確率\(P_1\)は100%（期待値 \(\displaystyle E_1 = \frac{1}{P_2} = 1\) ）です。まぁこれは当然。そうでなければ製造不良です。
次に１枚目で出ていない２枚目が出る確率 \(P_2\) は、\(\displaystyle P_2=\frac{4}{5}\) なので期待値 \(E_2\) は \(\displaystyle E_2 = E_1+\frac{1}{P_2} = 2.25\) となります。
次に今まで出た２枚ではない任意の３枚目が出る確率 \(P_3\) は、\(\displaystyle P_3=\frac{3}{5}\) なので期待値 \(E_3\) は \(\displaystyle E_3 = E_2+\frac{1}{P_3} = 3.92\) となります。
同様に今まで出た３枚でない任意の４枚目が出る確率 \(P_4\) は、\(\displaystyle P_4=\frac{2}{5}\) なので期待値 \(E_4\) は \(\displaystyle E_4 = E_3+\frac{1}{P_4} = 6.42\) となります。
最後に今まで出た４枚でない５枚目が出る確率 \(P_5\) は、\(\displaystyle P_5=\frac{1}{5}\) なので期待値 \(E_5\) は \(\displaystyle E_5 = E_4+\frac{1}{P_5} = 11.42\) となります。
つまり、期待値としては12枚買えばまぁ５種類は揃うでしょう、ということになります。意外と枚数が必要だという印象はないでしょうか？ あとはそんなに買わなくてもメルカリ・ヤフオクとかで揃わなかった分を補充するとかですかね。
ちなみに、５種類を２セットコンプしようと思ったら何枚買えば良いのでしょうか。
12枚買った段階で５種類コンプできたとして、７枚余ります。この７枚に何種類のカードが含まれているかという期待値は、７は上の計算結果の \(E_4\) 以上 \(E_5\) 以下ですので、 ４種類は含まれているということになります。つまり、12枚購入した場合の内訳は、
５枚…５種類コンプ１セット
４枚…４種類１セット
３枚…不明
となり、あと特定の１枚を出せば５種類コンプの２セット目が作れるわけです。特定の１枚を出すまでの期待値＝５枚のうち、既に３枚は購入済みですから、あと２枚追加すれば５種類コンプの２セット目が作れることになります。つまり、14枚買うと５種類コンプ×２セットが揃う訳で、こっちの方が割が良いかも知れませんね。
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